Uno de los conceptos que más me siguen (y seguirán) asombrando es el infinito. ¿Qué es? ¿Cómo es? y miles de preguntas mas y más inteligentes y trascendentales.
Literalmente, infinito es una cantidad sin-fin, de lo que uno guste y para lo que uno guste.
Paradójicamente, esta definición es suficiente para abarcar varios infinitos, hablando matemáticamente. Para empezar hay infinitos numerables e infinitos no-numerables y esta distinción es la que explicaré en este post.
Por ejemplo, los números naturales (representados por una N con linea izquierda doble o más oscura) son la sucesión de números empezando por el 1 y crecientes en una unidad, es decir: si a es un número natural, entonces a + 1 es un número natural. De esta forma se construyen los números naturales. (Para más información al respecto: los postulados de Peano)
Pues bien, a lo que intento ir con esto es a explicar que los números naturales aunque son infinito son enumerables, es decir se puede crear una lista con todos los números naturales hasta cierto número, por ejemplo hasta 5: 1, 2, 3, 4 y 5. Este infinito se llama aleph 0.
El siguiente conjunto de número en complejidad son los números enteros (representados por Z) y posteriormente los números racionales (representados por Q), estos dos conjuntos son también numerables, por lo que pasaré al cuarto conjunto: el de los números reales (representados por R).
Los numeros reales son todos los numeros que podemos encontrar en la recta, este conjunto contiene a N, Z y a Q pero tiene una infinidad mas de números que la unión de los conjuntos anteriores, por ejemplo pi y e no se encuentran en ninguno de los conjuntos anteriores. Este conjunto no se puede enumerar, por ejemplo si quisiéramos hacer la lista a partir del 1, empezaríamos con 1, 1.01, 1.001, 1.0001 y asi podriamos seguir: 1.00000...0000000000000001 y jamás llegar al 1.1, de esta forma (y para cualesquiera dos números) podriamos hacer una lista infinita de números y jamás llegar al segundo número (en este caso 1.1). Es decir, ntre cualesquiera dos números reales, hay una cantidad infinita de números.
De hecho, aunque parezca paradójico: existe la misma cantidad de números entre el 1.0 y el 1.1 que en toda la recta de los reales, a este infinito se le llama aleph 1.
Para mas y más formal información, hay un articulo de Ramón Espinoza en laberintos e infinitos.
Espero sus comentarios.
31 comentarios
f(ai,bi)=(ai+bi)/2 con ai y bi números racionales y toma ai+1=ai, bi+1=f(ai,bi)
sean a/b y c/d dos números racionales cualesquiera, tales que a/b <
c/d (ó ad < bc) para no perder generalidad, a ambos les restamos a/b
(los movemos al origen), y queda:
a/b-a/b = 0
c/d-a/b = (bc-da)/(bd) (en particular, es un numero racional)
teniendo esto basta demostrar que hay un número infinito de racionales
entre 0 y (bc-da)/(bd) ¿estamos de acuerdo?
pues muy fácil, porque sabemos que bd es un número natural y (por los
axiomas de peano) sabemos que siempre hay un número mayor que bd por
lo que
0 < (bc-da)/(bd+1) < (bc-da)(bd)
y como sabemos que hay un infinito de naturales (o enteros positivos)
le podríamos ir sumando cada vez mas a bd, y obtenemos lo siguiente
0 < ... < (bc-da)/(bd+n) < (bc-da)/(bd+n-1) < ... < (bc-da)/(bd+2) <
(bc-da)/(bd+1) < (bc-da)/(bd)
y como hay una infinidad de "n", con eso tienes que existen una
infinidad de números racionales entre a/b y c/d
a lo mejor medio rebuscada, pero creo que funciona.
se ve triste el color se veria mas padre si pusieran un color mucho mas brillante 2 les falta definir bien que son los numeros naturales
Diana, si nos dices que tipo de información adicional necesitas, veremos qué se puede hacer.
http://es.wikipedia.org/wiki/Hotel_infinito
Aunque se admite la existencia cantidades numerables (cantidad de números raturales) y no numerables (cantidad de puntos de una recta, el continuo) asociadas a los números aleph o y 1 respectivamente, no hay que descartar la existencia de otros números infinitos asociados a otras cantidades infinitas. Actualmente es motivo de discusión si la cantidad de núeros reales sea igual al continuo. La (cardinalidad) igualdad de elementos entre conjuntos hay que formalmente establecerla con la correspondiente aplicación biyectiva.
Por último decir que entre 1 y 1,1 hay también una cantidad infinita (numerable) de números racionales aleph 0 de la misma manera que una cantidad infinita (no numerable) de números reales ("aleph 1" posiblemente).
Saludos
beco
bye