... o en un infinito, sabiéndolo acomodar.



Este tipo de demostraciones que pueden ser tan inútiles, suelen ser sumamente interesantes, porque no son difíciles pero te hacen pensar un buen rato.



Es posible demostrar verazmente que existe el mismo número de puntos entre el 0 y el 1, que entre el 0 y el 1,000,000,000. Esto sería la versión formal de "todo cabe en un jarrito, sabiéndolo acomodar".



Podemos empezar con un par de conceptos sumamente sencillos, incluso, bien conocidos, pero formalicémoslos con fines exclusivos de este artículo:



- punto: es la representación gráfica de cualquier número en la recta numérica.

- intervalo: un intervalo es el subconjunto de los números reales que contiene todos los puntos entre cualesquiera dos números, (para más quisiquillosos, en este caso no creo necesario diferenciar entre abierto y cerrado). Para información más formal y completa, vayan a intervalo en la wikipedia. Un intervalo entre a y b se denotará [a, b].



Bien, supongamos que en el intervalo entre el 0 y el 1 ([0, 1]) existen A puntos (A en realidad es <img src='http://math.b3co.com/img/abf2b9848891da2e707e6baece3d81d1.png' alt='latex to png at http://math.b3co.com'/ valign="middle">, (aleph1)), por lo tanto, lo que queremos probar es que en [0, 1,000,000,000] existen tambien A puntos.



Lo que podemos hacer es meter a todos los puntos del intervalo [0, 1,000,000,000] al intervalo [0, 1].



Esto es muy fácil, simple y sencillamente, a todos los puntos en el intervalo [0,1,000,000,000] los dividimos entre 1,000,000,000, de esta forma todos y cada uno de los puntos del intervalo [0, 1,000,000,000] son trasladados al intervalo [0, 1]. También se dice que los elementos de un conjunto son asociados a los elementos de otro. Esto lo hacemos todos los días a la hora de contar, es decir asociamos los cualesquiera elementos al conjunto de los números naturales (1, 2, 3, ..., 239, ...).



Con esto ya podemos afirmar que el intervalo [0, 1,000,000,000] cabe en el intervalo [0, 1], por lo tanto hasta aqui podemos afirmar que el intervalo [0, 1] al menos tiene el mismo número de puntos que el [0, 1,000,000,000].



Hasta aqui podría quedar la duda: ¿Tiene más puntos? La respuesta es no. De la misma forma que metimos todos los puntos del [0, 1,000,000,000] al [0, 1] podemos hacer el inverso: meter todos los puntos [0, 1] en [0, 1,000,000,000] y con esto demostramos que hay el mismo número de puntos en un conjunto que en otro.



¿Chido no?